Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Теория массового обслуживания Теория очередей. Метод Монте-Карло Числовые характеристики функций случайных величин При решении различных задач, связанных со случайными явлениями, современная теория вероятностей широко использует аппарат случайных величин. Для того чтобы использовать этот аппарат, необходимо знать законы распределения случайных величин, участвующих в задаче.

В общем случае эти законы могут быть определены опытным путем, но обычно опытное определение закона распределения случайной величины или системы случайных величин, особенно в военной области, является сложным и дорогостоящим.

Естественно, цель состоит в том, чтобы минимизировать количество опытов и выносить суждения о законах распределения случайных величин косвенно, на основе уже известных законов распределения других случайных величин. Такие косвенные методы изучения случайных величин играют очень важную роль в теории вероятностей.

Интересующая нас случайная величина обычно представляется в виде функции других случайных величин; зная законы распределения аргументов, мы часто можем найти закон распределения функции.

Мы столкнемся с рядом проблем такого типа далее в этой работе. Однако на практике часто встречаются случаи, когда нет необходимости полностью определять закон распределения функции случайных величин; достаточно указать ее числовые характеристики: матожидание, дисперсию, а иногда и некоторые высшие моменты.

Кроме того, очень часто сами законы распределения аргументов не очень хорошо известны. Это часто приводит к проблеме определения только числовых характеристик функций случайных величин. Рассмотрим следующую задачу: случайная величина Y является функцией нескольких случайных величин Пусть нам известен закон распределения системы аргументов; нам нужно найти числовые характеристики величины K, в первую очередь ее матожидание и дисперсию.

Представим, что нам каким-то образом удалось найти закон распределения g y величины Y. Тогда задача определения числовых характеристик становится тривиальной, они находятся по формулам: и т.д. Однако сама задача нахождения закона распределения g y величины Y часто оказывается достаточно сложной. Более того, для решения поставленной задачи не требуется нахождение закона распределения величины Y как такового: нам не нужно знать ее закон распределения, чтобы найти только числовые характеристики величины Y; достаточно знать закон распределения аргументов. Более того, в некоторых случаях для нахождения числовых характеристик функции нам даже не нужно знать закон распределения ее аргументов; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики аргументов.

Таким образом, возникает проблема определения числовых характеристик функций случайных величин в дополнение к законам распределения этих функций. Рассмотрим проблему определения числовых характеристик функции при наличии закона распределения аргументов. Начнем с простейшего случая - функции одного аргумента - и поставим следующую задачу. Имеется случайная величина X с заданным законом распределения; другая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью: Требуется, не находя закона распределения переменной Y, определить ее математическое ожидание: Сначала рассмотрим случай, когда X - прерывная случайная величина с рядом распределения: Запишем возможные значения переменной Y и вероятности этих значений: Таблица 2.2 Таблица 3.3 В данном случае нас не интересует закон распределения величины Y как таковой, для наших целей - определение математического ожидания величины Y.

Замена в формуле Аналогично можно определить математическое ожидание функции от двух случайных аргументов X и Y. Для прерывных величин, где - вероятность того, что система X, Y примет значения Для непрерывных величин, где f x, y - плотность распределения системы X, Y.

Математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов определяется совершенно аналогичным образом. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных переменных: где - плотность распределения системы. Формулы вида Таким образом, математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов может быть найдено в дополнение к закону распределения функции. Таким же образом можно найти и другие числовые характеристики функции - моменты различных порядков. <Поскольку каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции рассматриваемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть выполнено с помощью приемов, очень похожих на описанные выше. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии, но только для случая непрерывных случайных величин. Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой, где f x - плотность распределения величины X.

Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой, где f x - плотность распределения величины X.

Аналогично, дисперсия функции двух аргументов выражается: где - математическое ожидание функции f x y - плотность распределения системы X, Y. Наконец, в случае произвольного числа аргументов, в аналогичных обозначениях: Заметим, что при вычислении дисперсии часто удобно использовать соотношение между начальным моментом и центральным моментом второго порядка, см. (2). Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение описанных выше методов к практическим задачам.

Пример: На плоскости дан отрезок длины l. На рис. отрезок спроецирован на неподвижную ось AB. Найдите среднее значение длины проекции отрезка. Решение: где угол a - случайная величина, распределенная с равномерной плотностью по отрезку. По формуле На своем пути фрагмент встречает плоский экран, перпендикулярный направлению его движения, и оставляет в нем отверстие. Найдите матожидание длины отверстия.

Решение: Сначала дайте математическую формулировку утверждения, что "все ориентации фрагмента в пространстве равновероятны". Направление отрезка l будем характеризовать единичным вектором на рис. Направление вектора в сферической системе координат, связанной с плоскостью P, на которую производится проекция, определяется двумя углами: углом, лежащим в плоскости P, и углом, лежащим в плоскости, Вероятность всех ориентаций вектора при всех его конечных положениях на поверхности сферы единичного радиуса C должна иметь одинаковую плотность вероятности; следовательно, элемент вероятности где должен быть пропорционален элементарной площади ds на сфере C; эта элементарная площадь

Пример: Плоская фигура площадью S произвольно вращается в пространстве так, что все ориентации фигуры равновероятны. Найдите среднюю площадь проекции фигуры S на неподвижную плоскость P; Решение: Направление плоскости фигуры S в пространстве будет характеризоваться направлением нормали N к плоскости. Свяжем с плоскостью P ту же сферическую систему координат, что и в предыдущем примере. Направление нормали N к плоскости S характеризуется случайными углами в и распределено с плотностью Площадь Z проекции фигуры S на плоскость P и средняя площадь проекции Таким образом, средняя площадь проекции произвольно ориентированной плоской фигуры на неподвижную плоскость равна половине площади этой фигуры.

Пример: Пока радар следит за определенным объектом, точка, изображающая этот объект, все время находится в пределах экрана. Экран представляет собой круг K радиуса R. Пятно занимает случайное положение на экране с постоянной плотностью вероятности. Найдите среднее расстояние от точки до центра экрана.

Решение: Обозначая расстояние D, имеем , где X, Y - координаты пятна; внутри круга K и равны нулю вне его. Применяя формулу Параметры X, Y, Z - случайные величины с известной плотностью распределения f x, y, z. Найти среднее значение математического ожидания надежности прибора и стандартное отклонение, характеризующее его стабильность. Среднее значение математического ожидания найдем по формуле Выведем здесь эту формулу в общем виде. Предположим, что опыт, в котором интересующее нас событие А может произойти или не произойти, происходит при случайных, заранее неизвестных условиях. <Пусть эти условия характеризуются непрерывными случайными величинами, плотность распределения которых по появлению события А есть некоторая функция случайных величин Легко заметить, что по своей структуре она аналогична формуле полной вероятности, если заменить дискретный ряд гипотез непрерывной гаммой, сумму - интегралом, вероятность гипотезы - элементом вероятности: а условную вероятность события при данной гипотезе - условной вероятностью события при фиксированных значениях случайных величин: Так же часто, как интегральная формула для суммарной вероятности, используется интегральная формула для суммарного математического ожидания.

Эта формула выражает среднее полное математическое ожидание случайной величины Z, значение которой принимается в эксперименте, условия которого заранее неизвестны случайной величине.

Среднее полное математическое ожидание случайной величины Z, значение которой принимается в эксперименте, условия которого заранее неизвестны.

Если эти условия характеризуются непрерывными случайными величинами с плотностью распределения и математическое ожидание величины Z является функцией от значений, то математическое ожидание величины Z вычисляется по формуле, называемой интегральной формулой общего математического ожидания. Пример: Математическое ожидание дальности D, на которой объект будет обнаружен четырьмя радиолокационными станциями, зависит от некоторых технических параметров этих станций: они являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения При фиксированных значениях параметров математическое ожидание дальности обнаружения равно Найти среднее значение математического ожидания дальности обнаружения.

Решение: по формуле Во многих случаях, однако, нам даже не нужно знать законы распределения функции; вместо этого нам просто нужно знать некоторые ее числовые характеристики, и мы избегаем иметь какие-либо законы распределения вообще. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко используется в теории вероятностей и позволяет значительно упростить решение некоторых задач.

По большей части такие упрощенные методы применимы к линейным функциям, однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают такой подход. Математическое ожидание неслучайной величины Если c - неслучайная величина, то M[c] - c.

Если дисперсия неслучайной величины - неслучайная величина, то M[c] - c.

Определение дисперсии.

Определение дисперсии 3.


Навигация

thoughts on “Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *